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楚德诺夫斯基兄弟,左David,右Gregory。
来源 公众号“把科学带回家”
撰文 七君
两位数学家出生在苏联时代的乌克兰基辅,爸爸是土木工程师,妈妈也是工程师,参与过卡秋莎火箭炮的建设。12 岁的时候,弟弟 Gregory 患上了自身免疫性疾病重症肌无力(Myasthenia Gravis)。因为这个病,Gregory 总是全身无力,常常呼吸困难,大多数时候都得躺在床上,住处的空气也要过滤。
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小时候的Gregory(左) 和 David(右) 图片来源:PBS
自打那时开始,哥哥 David 就负责弟弟的起居,直到现在他还每天推着轮椅带着弟弟溜达。和他俩聊天也很有意思,哥俩经常帮对方的输出做“自动语义填充”,帮对方把话说完。
寻找小数点后的真相
俩兄弟不但形影不离,还有共同的兴趣爱好,那就是数学,以及 π。
π 是一个无理数,也是个超越数,也就不是任何一个有理系数代数方程的根,它出现在很多地方,比如绕着次原子粒子震动的超弦里。
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计算机界的另一个大神冯·诺依曼也算过 π,试图寻找规律,但啥也没找到。不少数学家认为, π 的规律就是没有规律,既然如此不断计算派也是枉然。
但是还有一些少数派一直在苦苦寻找 π 的小数点后的真相,比如楚德诺夫斯基兄弟。用 Gregory 的话来说,“我们对 π 一无所知。 π 的定义很简单,就是圆周和直径的比。但是这个比值的复杂性是令人难以置信的。”
1981 年,东京大学的计算机学家金田康正用日产计算机算到了派小数点后的两百万位,震惊了世界。
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东京大学的计算机学家金田康正。图片来源:(DOI)10.1007/978-3-642-36736-6_24
三年后,兄弟俩发现了计算 π 的公式——楚德诺夫斯基算法(Chudnovsky algorithm),它是用有理数计算 π 的最快的级数。计算 π 的公式也有用无理数的,但是从计算机的角度来讲,兄弟俩的公式很适合计算机来跑,因为无理数不太好算,而用兄弟俩的公式只需要几行代码就能描述。
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楚德诺夫斯基算法
超级计算机 DIY
1989 年,楚德诺夫斯基兄弟俩正式加入了算 π 的战局。他们用 IBM 托马斯·J·沃森研究中心的超级计算机 Cray 2 算到了 π 的小数点后 4.8 亿位,创下了世界纪录。
但是,租用超级计算机也超级贵,一小时的花费是 750 美金,这笔开销对兄弟俩来说是天文数字,而且没法用研究经费负担。
作为数学家难道没有科研经费吗,这不太科学啊。
是这样的,兄弟俩认为他们实际上是寄居在两个不同肉体里的一个数学家,所以不管去哪里都要一起,申请教职也是。
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虽然他们一共发表了一百多篇合著的论文,但由于弟弟的残疾,哥俩实际上没有办法承担教学任务,因此也没有大学能够聘用他们。后来,哥伦比亚大学决定授予他们数学系的高级研究员的职称。这样的职称意味着哥伦比亚大学并不把他们当作正式教职员工,因此在社保和住房补贴之外并不提供工资。
在那段时间,哥俩只能从美国国家科学基金会(NSF)等研究基金里获取有限的科研经费。不过,幸好他们各自的妻子都很厉害,Gregory 的妻子是律师,David 的妻子是联合国的官员,所以他们的生活主要依赖夫人的收入。哥俩的这种生存模式也在数学界被命名为楚德诺夫斯基问题(the Chudnovsky Problem)。
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这也是促使兄弟俩 DIY 超级计算机计算 π 的动机。他们从网上邮购了各种零配件,开始手造超级计算机。
1992 年,他们成功了。
当时世界上最强的超级计算机有超级计算机制造商克雷公司的 Cray Y-MP C90 等 7 台,按计算能力排接下来老八的就是楚德诺夫斯基兄弟公寓里的这一台。
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Cray Y-MP C90 图片来源:wikipedia
他们的超级计算机被取名为 M-zero。这台“手造超算”是每秒 10 亿的浮点运算次数级别的,差不多是 Cray Y-MP8 的水平。两兄弟表示,M-zero 虽然没有最快的 Cray Y-MP C90 那样先进,但是和老的 Cray Y-MP 的运算能力差不多。
但是考虑到造价,你就会发现兄弟俩的性价比超高。
Cray Y-MP C90 是液态氟利昂制冷,造价超过 3 亿美金。但是兄弟俩的超级计算机造价只要 7 万美金,制造过程中最困难的部分就是说服他们的妻子掏出腰包。
M-zero 的功率是 2 千瓦,日夜不停,因为兄弟俩担心一旦把它关掉它就会翘辫子。为了防止跳闸,他们的公寓的灯都尽量不开。但是依靠这台公寓版的超级计算机,90 年代初,他们算到了派的小数点后 20 亿位。
这件事也惊动了《纽约客》等媒体。在媒体的报道后,兄弟俩的生活终于迎来了转机。1999 年,一个好心的房地产老板 Jeffrey H. Lynford 帮兄弟俩在纽约大学理工学院的数学和先进计算研究所(IMAS)花钱捐了两个教职。
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楚德诺夫斯基兄弟在纽约大学理工学院的数学和先进计算研究所的实验室地板上是一圈超几何级数,其中大多数都是他们发现的,包括他们用来计算派的楚德诺夫斯基算法。
图片来源:Noel Camardo
挂毯问题
在新的大学里,他们又开始捣鼓“邮政包裹”手造超级计算机。而这台新的超级计算机,还解决了艺术界和数学界的一个大问题。
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楚德诺夫斯基兄弟用邮购的零部件建造的第二代超级计算机
图片来源:Noel Camardo
曼哈顿的纽约大都会美术馆的分馆修道院博物馆(The Cloisters)有一套镇馆挂毯——独角兽挂毯(The Unicorn Tapestries)。
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独角兽挂毯
独角兽挂毯是用羊毛、丝绸和银线织成的,描绘的是一群贵族和猎手在法国乡村猎捕独角兽的场景,有 500 年的历史,是中世纪末和文艺复兴时期早期的代表作之一。
在博物馆的一次翻新的工程中,大家把挂毯取了下来。不过反正放着也是放着嘛,不如给它拍个大头照留存一下啊。
于是,大家把挂毯送到了大都会美术馆,拜托那里的馆长大大 Barbara Bridgers 给它拍个全方位的高清无码照片。馆长大大正好也在给藏品做数码化,所以就答应了下来。
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但是馆长这次用的是大手笔,她把挂毯的每缕丝线都拍了张高清照。问题来了,这么一搞,出现了海量的图片文件,博物馆的计算机根本没办法把图片拼成完整的照片,这些文件就这么搁置了五年。
五年后的 2003 年,楚德诺夫斯基兄弟造好了他们的 DIY 超级计算机,他们听说了这件事,觉得这事儿不是炒鸡简单吗,于是就给馆长打了电话。
“喂,馆长啊,听说我们很闲啊,你需要帮忙吗?”
馆长马上就同意了。
俩数学家兄弟本来以为这事儿的难度特别小学生,就按照照片的图案,把它们归归类,然后串在一起不就好了嘛,就和拼图一样,两个礼拜就能搞定,so easy。
但是实操了一波发现,事情并不简单。
原来,按照他们的拼图思路运行了之后,出来的图片歪歪扭扭的,根本对不齐,也对不起嘛。
更奇怪的是,整幅挂毯图片中,一些部位是齐的,但是其他地方却是歪的,也就是说不可能通过简单平移的方式把歪的地方扭正。
一开始,数学家兄弟以为是博物馆拍照的时候出了技术问题,比如照相机套圈了,文件名出错了还是怎么了,但是馆长大大一口咬定没有这回事。
俩兄弟有主意了。他们获取了相机里的原始图像,并把每个图片的向量,也就是图案的方向找了出来,然后分析了 1.5 万个向量形成的向量场。
一波分析之后,他们终于搞明白了问题的关键:原来挂毯的扭曲并不是摄影师或者机器造成的,而是挂毯的纱线自己扭出来的。
原来,在被挂了几百年后,挂毯的纤维已经熟悉和适应了重力,找到了平衡。但是一旦被放在地上摆平,它们就开始放松,无序地波动,就像被风吹拂的水面一样。房间的温度和湿度会让挂毯的纤维不断扭曲翻转发生变化,因此相机拍到的图片也就奇奇怪怪了。
此外,当摄影师在拍摄的时候,会在视野边缘放一张纸作为对照。但是这张纸就像微风一样,让挂毯的纤维产生了涟漪。这种细微的变化肉眼无法觉察,但每次拍摄的涟漪相互叠加,就产生了整体性的扭曲。
最后,摄影师在拍摄的时候,镜头也没有严格地在同一个水平面上移动,这就造成了图像的变形。这样复杂的变化,不是依靠拼图的耐心就能处理的,只能把问题交给高等数学。
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兄弟俩把每个经纱像素点的向量拼到一起,形成一个向量位移地图。从这个向量位移地图里,兄弟俩发现了让数学家们值得研究的向量场空间扭曲问题。
他们的超级计算机给挂毯的 2.4 亿像素点中的每一个做了 3 亿次的运算。在 3 个月的计算后,他们终于把每一个经纱和纬纱归位了,完成了独角兽挂毯的数码化。而哥俩用来解决挂毯拼图问题的思想,也可以被用来分析 DNA 和语音识别。
现在在位于布鲁克林的纽约大学理工学院的图书馆里,就挂着兄弟俩解码的挂毯副本。在挂毯问题后,他们也有了更加有趣的任务:IBM 邀请他们参与设计世界上最强的超级计算机 C64。
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纽约大学理工学院的图书馆里独角兽挂毯的副本
图片来源:NYU tandon school

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